Önermeler ve bileşik önermeler konu anlatımı

 Önerme

• Doğru yada yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir.
• Önermeler genelde p,q,r .. gibi küçük harfle gösterilir.
• Önermenin doğruluk yada yanlışlığına önermenin doğruluk değeri denir.
• Bir önerme doğru ise D veya 1 ile gösterilir.
• Bir önerme yanlış ise Y veya 0 ile gösterilir.
• Bir p önermesi doğru ise p ≡ 1 ( p denktir 1 ) , yanlış ise p ≡ 0 ( p denktir sıfır ) olarak ifade edilir.

• "Volkan delidir." ifadesinde deli olma ölçütü belli olmadığından önerme değildir.
• "Volkan"ın 16 yaşındir" ifadesi bir önermedir.

Denk önerme : p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı ise bu iki önermeye denk önerme denir.p ≡ q şeklinde gösterilir ve p denktir q şeklinde okunur.

Bir önermenin değili (olumsuzu) : Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak oluşturulan önermeye o önermenin değili ( olumsuzu ) denir.Bir p önermesinin değili , pı veya ~p sembollerinden biri ile gösterilir.
0ı ≡ 1 , 1ı ≡ 0 , (pı)ı = p

1. p : "Kömürün rengi siyahtır."
   p önermesi doğru bir önermedir.p ≡ 1 olur.
   pı="Kömürün rengi siyah değildir." pı ≡ 0 olur.
2. q : "2 asal sayı değildır."
   q önermesi yanlış bir önermedir.q ≡ 0 olur.
   qı="2 asal sayıdır." qı ≡ 1 olur.

n tane farklı önermenin birlikte 2n tane farklı doğruluk durumu vardır.

Bileşik önermeler

• "ve" , "veya" , "ya da" , "ise" , "ancak ve ancak" bağlaçlarına mantık bağlaçları denir.
• En az iki önermenin mantık bağlaçları ile birbirine bağlanması ile oluşan önermelere bileşik önerme denir.

Veya ( V ) bağlacı ile bileşik önermeler

p ile q önermelerinin "veya" bağlacı ile bağlanması ile oluşan bileşik önermeye p veya q önermesi denir.Bu önerme pVq şeklnde gösterilir.

pVq doğruluk tablosu
p	q	pVq
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

pVq önermesi sadece p ve q önermeleri yanlış iken yanlış olur,diğer durumlarda doğrudur.

Ve ( ∧ ) bağlacı ile bileşik önermeler

p ile q önermelerinin "ve" bağlacı ile bağlanması ile oluşan bileşik önermeye p ve q önermesi denir.Bu önerme p∧q şeklnde gösterilir.

p∧q doğruluk tablosu
p	q	p∧q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

p∧q önermesi sadece p ve q önermeleri doğru iken doğru olur,diğer durumlarda yanlıştır.

Özellikler

1. Tek kuvvet özelliği
   Her p önermesi için p∧p ≡ p ve pVp ≡ p olur.
2. Değişme özelliği
   Her p ve q önermesi için p∧q ≡ q∧p ve pVq ≡ qVp olur.
3. Birleşme özelliği
   Her p , q ve r önermesi için (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r ve (pVq)Vr ≡ pV(qVr) olur.
4. Dağılma özelliği
   • "ve"nin "veya" üzerine dağılma özelliği
     Her p , q ve r önermesi için p∧(qVr) ≡ (p∧q)V(p∧r) olur.
   • "veya"nın "ve" üzerine dağılma özelliği
     Her p , q ve r önermesi için pV(q∧r) ≡ (pVq)∧(pVr) olur.

Ya da ( ⊻ ) bağlacı ile bileşik önermeler

p ile q önermelerinin "ya da" bağlacı ile bağlanması ile oluşan bileşik önermeye p ya da q önermesi denir.Bu önerme p⊻q şeklnde gösterilir.

p⊻q doğruluk tablosu
p	q	p⊻q
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

p⊻q önermesi önermelerin doğruluk değerleri aynı iken yanlış , farklı iken doğru olur.Özellikleri:

• p⊻q ≡ q⊻p
• p⊻1=pı
• p⊻p=0
• p⊻0=p

De Morgan kuralları

p ve q önermeleri için aşağıdaki denkliklere De Morgan kuralları denir.

• (pVq)ı ≡ pı∧qı
• (p∧q)ı ≡ pıVqı

Koşullu önerme

p ile q önermelerinin ise bağlacı ile bağlanması ile elde edilen önermeye koşullu önerme veya p ise q önermesi denir ve p⇒q şeklinde gösterilir.

p⇒q doğruluk tablosu
p	q	p⇒q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

p⇒q önermesinde 1.önerme doğru , 2. önerme yanlış olduğunda yanlış olur,diğer durumlarda ise doğrudur.

p ve q önermeleri için p⇒q önermesi ile pı V q önermesi denk olur.p ⇒ q ≡ pı V q

p ve q önermeleri ile oluşan p⇒q önermesinde

• q⇒p önermesine p⇒q önermesinin karşıtı
• pı⇒qı önermesine p⇒q önermesinin tersi
• qı⇒pı önermesine p⇒q önermesinin karşıt tersi

denir.

İki yönlü koşullu önerme

p ile q önermelerinin ancak ve ancak bağlacı ile bağlanması ile elde edilen önermeye iki yönlü koşullu önerme veya p ancak ve ancak q önermesi denir ve p⇔q şeklinde gösterilir.

p⇔q doğruluk tablosu
p	q	p⇔q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

p⇔q önermesinde önermelerin doğruluk değerleri aynı ise doğru , diğer durumlarda yanlış olur.

p⇔q ≡ (p⇒q)∧(q⇒p) olur.

Her (∀) ve bazı (∃) niceliyecileri

İçinde en az bir değişken bulunan ve değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermelere açık önerme denir.

İçinde x gibi bir değişken olan bir açık önerme p(x) , x ve y gibi iki değişken olan bir açık önerme p(x,y) şeklinde gösterilir.

• "Her" bütün,tamamı anlamındadır.Evrensel niceleyici olarak da bilinir ve ∀ sembolü ile gösterilir.
• "Bazı" en az bir anlamındadır.Varlıksal niceleyici olarak da bilinir ve ∃ sembolü ile gösterilir.
• [∀,p(x)]ı ≡ [∃,pı(x)] ,
• [∃,p(x)]ı ≡ [∀,pı(x)] olur.